问答题
A
n×n
=(α
1
，α
2
，…，α
n
)，B
n×n
=(α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n
+α
1
)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?
【正确答案】
【答案解析】解 方法一
由r(A)=n可知|A|≠0，而
当n为奇数时，|B|≠0，方程组BX=0只有零解；
当n为偶数时，|B|=0，方程组BX=0有非零解．
方法二 BX=0
x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
n
(α
n
+α
1
)=0
(x
1
+x
n
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
n-1
+x
n
)α
n
=0，
因为α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关，
所以
由r(A)=n可知|A|≠0，而
当n为奇数时，|B|≠0，方程组BX=0只有零解；
当n为偶数时，|B|=0，方程组BX=0有非零解．
方法二 BX=0
x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
n
(α
n
+α
1
)=0
(x
1
+x
n
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
n-1
+x
n
)α
n
=0，
因为α 1 ，α 2 ，…，α n 线性无关，
所以