解答题
设二次型
问答题
24.求二次型f的秩；
【正确答案】由于
，二次型对应的矩阵为A，则有
，二次型对应的矩阵为A，则有【答案解析】
问答题
25.求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
【正确答案】记二次型f的矩阵为A，则
可知λ1＝0，λ2＝λ3＝3．
当λ1＝0时，特征向量η1＝(1，1，1)T，将η1单位化后得
当λ2＝λ3＝3时，特征向量η2＝(－1，1，0)T，η3＝(－1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得β2＝η2＝(－1，1，0)T，
再将β2，β3单位化，得
故正交变换矩阵
且有x＝Qy，使
可知λ1＝0，λ2＝λ3＝3．
当λ1＝0时，特征向量η1＝(1，1，1)T，将η1单位化后得
当λ2＝λ3＝3时，特征向量η2＝(－1，1，0)T，η3＝(－1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得β2＝η2＝(－1，1，0)T，
再将β2，β3单位化，得
故正交变换矩阵
且有x＝Qy，使【答案解析】【思路探索】先写出二次型的矩阵，进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量．
【错例分析】本题有以下错误解法：
令
则
，故秩为3．
错误原因：变量替换
【错例分析】本题有以下错误解法：
令
则，故秩为3．错误原因：变量替换