问答题
设函数f(x)在区间(a，+∞)(a＞0为常数)可导，且
问答题
【正确答案】记g(x)=e2xf(x)(x∈(a，+∞))，则
[*]
由极限性质，存在x0＞0，当x＞x0时，g'(x)＞1
在[x0，x][*](a，+∞)上，对g(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x0，x)，使g(x)-g(x0)=g'(ξ)(x-x0)＞(x-x0)
即g(x)＞g(x0)+x-x0
[*]
[*]
由极限性质，存在x0＞0，当x＞x0时，g'(x)＞1
在[x0，x][*](a，+∞)上，对g(x)用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x0，x)，使g(x)-g(x0)=g'(ξ)(x-x0)＞(x-x0)
即g(x)＞g(x0)+x-x0
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】因为[*]
[*]
于是[*]
【答案解析】[解析] 函数与导函数在x→+∞时极限性质
问答题
求由方程2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0确定的隐函数z=z(z，y)的极值点与极值．
【正确答案】在所给方程两边取全微分，得4xdx+4ydy+2zdz+8xdz+8zdx-dz=0
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8=0，得7z2+z-8=(z-1)(7z+8)=0，故z1=1，[*]从而得驻点为(-2，0)，[*]而
[*]
因此(-2，0)是z=z(x，y)的极小点，极小值为z(-2，0)=1；[*]，是z=z(x，y)的极大点，极大值为[*]
[*]
8=0，得7z2+z-8=(z-1)(7z+8)=0，故z1=1，[*]从而得驻点为(-2，0)，[*]而
[*]
因此(-2，0)是z=z(x，y)的极小点，极小值为z(-2，0)=1；[*]，是z=z(x，y)的极大点，极大值为[*]
【答案解析】[解析] 求二元隐函数的极值点与极值
问答题
某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品产量分别为x和y(单位：吨)时，总收益函数为R(x，y)=42x+27y-4x2-2xy-y2；总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)，除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元，并限制排污费用总支出为8万元，问甲、乙两种产品的产量各为多少时，总利润最大?最大总利润是多少?
【正确答案】总利润函数为
L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)-2x-y
=42x+27y-4x2-2xy-y2-36-8x-12y-2x-y
=32x+14y-4x2-2xy-y2-36
问题为求L(x，y)在限制条件2x+y=8下的最值点与最值．
令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y-8)
=32x+14y-4x2-2xy-y2-36+λ(2x+y-8)
[*]
从(1)，(2)消参数λ与(3)联立，得唯一驻点(2.5，3)。
实际问题必有最大利润，此点即为最大点，在限制排污费总支出为8万元的条件下，生产甲种产品x=2.5吨，乙种产品y=3吨时总利润取最大值，最大利润为Lmax=L(2.5，3)=37(万元)。
L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)-2x-y
=42x+27y-4x2-2xy-y2-36-8x-12y-2x-y
=32x+14y-4x2-2xy-y2-36
问题为求L(x，y)在限制条件2x+y=8下的最值点与最值．
令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y-8)
=32x+14y-4x2-2xy-y2-36+λ(2x+y-8)
[*]
从(1)，(2)消参数λ与(3)联立，得唯一驻点(2.5，3)。
实际问题必有最大利润，此点即为最大点，在限制排污费总支出为8万元的条件下，生产甲种产品x=2.5吨，乙种产品y=3吨时总利润取最大值，最大利润为Lmax=L(2.5，3)=37(万元)。
【答案解析】[解析] 条件极值在经济问题中的应用