问答题
(本题满分11分)
求微分方程y"+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y"(0)=1的特解，其中连续函数f(x)满足条件
求微分方程y"+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y"(0)=1的特解，其中连续函数f(x)满足条件
【正确答案】
【答案解析】解：由于
，则题设条件可表示为
。
在两边对x求导，得
；
再在两边对x求导，整理可得f"(x)+f(x)=-sinx，且f(0)=0，f"(0)=1。
解上述方程组得
。可见原方程为
故对应齐次方程的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx，C 1 ，C 2 为任意常数，且特解可设为y * =x(b 1 x+b 2 )cosx+x(b 3 x+b 4 )sinx，代入方程后得
。再根据初始条件
y(0)=0，y"(0)=1得所求解为
，则题设条件可表示为
。
在两边对x求导，得
；
再在两边对x求导，整理可得f"(x)+f(x)=-sinx，且f(0)=0，f"(0)=1。
解上述方程组得
。可见原方程为
故对应齐次方程的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx，C 1 ，C 2 为任意常数，且特解可设为y * =x(b 1 x+b 2 )cosx+x(b 3 x+b 4 )sinx，代入方程后得
。再根据初始条件
y(0)=0，y"(0)=1得所求解为