问答题
设y=f(x)在[0，1]连续，(0，1)可导，f(0)=f(1)=0，
【正确答案】(1)令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]连续，[*]，F(1)=f(1)-1=0-1=-1＜0，由闭区间连续函数零值定理，存在[*]使F(C)=0，于是在[0，c]上依罗尔定理存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使F'(ξ)=f'(ξ)-1=0，即f'(ξ)=1．
(2)对任意实数λ，令Φ(x)=e-λxF(x)=e-λx(f(x)-x)．则Φ(x)在[0，c]连续，(0，c)可导，且Φ(0)=Φ(C)=0，在[0，c]上对Φ(x)用罗尔定理，存在η∈(0，c)[*](0，1)，使Φ'(η)=0，即
e-λη[F'(η)-λF(η)]=0，
亦即f'(η)-1-λ(f(η)-η)=0．
从而得f'(η)-λ(f(η)-η)=1．
(2)对任意实数λ，令Φ(x)=e-λxF(x)=e-λx(f(x)-x)．则Φ(x)在[0，c]连续，(0，c)可导，且Φ(0)=Φ(C)=0，在[0，c]上对Φ(x)用罗尔定理，存在η∈(0，c)[*](0，1)，使Φ'(η)=0，即
e-λη[F'(η)-λF(η)]=0，
亦即f'(η)-1-λ(f(η)-η)=0．
从而得f'(η)-λ(f(η)-η)=1．
【答案解析】[考点] 用微分中值定理作证明题