问答题
设矩阵
问答题
求k．
【正确答案】正确答案：矩阵A的特征多项式为
【答案解析】
问答题
求矩阵P，使(AP)
T
(AP)为对角矩阵．
【正确答案】正确答案：A为对称矩阵，要使(AP)
T
(AP)=p
T
A
2
P为对角矩阵，即将实对称矩阵A
2
对角化． 由上题得A的特征值λ
1
=一1，λ
2,3
=1，λ
4
=3，故A
2
的特征值μ
1,2,3
=1，μ
4
=9，且
方法一 A
2
的属于特征值μ
1,2,3
=1的正交单位化的特征向量为 p
1
=[1，0，0，0]
T
，p
2
=[0，1，0，0]
T
，
A
2
的属于特征值μ
4
=9的正交单位化的特征向量为
方法二 对应于A
2
的二次型为
将X=PY代入二次型X
T
A
2
X，得 X
T
A
2
X=(PY)
T
A
2
(PY)=Y
T
(AP)
T
(AP)Y
即矩阵P，使得
方法一 A
2
的属于特征值μ
1,2,3
=1的正交单位化的特征向量为 p
1
=[1，0，0，0]
T
，p
2
=[0，1，0，0]
T
，
A
2
的属于特征值μ
4
=9的正交单位化的特征向量为
方法二 对应于A
2
的二次型为
将X=PY代入二次型X
T
A
2
X，得 X
T
A
2
X=(PY)
T
A
2
(PY)=Y
T
(AP)
T
(AP)Y
即矩阵P，使得
【答案解析】