选择题
3.[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．
【正确答案】
C
【答案解析】解一 仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n－秩(A)=4－3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合，即
2α1－(α2+α3)=(α1－α2)+(α1－α3)．
因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1－(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为
X=α1+k[2α1－(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+k[2，3，4，5]T．
解二 仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故
α1－
(α2+α3)=
[2α1－(α2+α3)]=
[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×
2α1－(α2+α3)=(α1－α2)+(α1－α3)．
因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1－(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为
X=α1+k[2α1－(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+k[2，3，4，5]T．
解二 仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故
α1－
(α2+α3)=[2α1－(α2+α3)]=[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×