问答题
已知α
1
，α
2
，α
3
，α
4
是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β
1
=α
1
+tα
2
，β
2
=α
2
+tα
3
，β
3
=α
3
+tα
4
，β
4
=α
4
+tα
1
，讨论实数t满足什么关系时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也是AX=0的一个基础解系．
【正确答案】
【答案解析】解 设有常数k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使
k 1 β 1 +k 2 β 2 +k 3 β 3 +k 4 β 4 =0，
即
(k 1 +tk 4 )α 1 +(k 2 +tk 1 )α 2 +(k 3 +tk 2 )α 3 +(k 4 +tk 3 )α 4 =0．
因为α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 是方程组AX=0的一个基础解系，从而线性无关，故必有
即
当且仅当
k 1 β 1 +k 2 β 2 +k 3 β 3 +k 4 β 4 =0，
即
(k 1 +tk 4 )α 1 +(k 2 +tk 1 )α 2 +(k 3 +tk 2 )α 3 +(k 4 +tk 3 )α 4 =0．
因为α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 是方程组AX=0的一个基础解系，从而线性无关，故必有
即
当且仅当