设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为
【正确答案】正确答案：本题可以按以下公式先算出Z的分布函数F
Z
(z)： F
Z
(z)=
f
X
(x)f
Y
(y)dxdy(其中D
z
=｛(x，y)｜2x+y≤z｝)， 然后对F
Z
(z)求导算出f
Z
(z)，但较麻烦． 记U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得
于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
(z)=∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du． 由于f
U
(u)f
Y
(z－u)=
即f
U
(u)f
Y
(z－u)仅在D
z
=｛(u，z)｜0＜u＜2，z－u＞0｝(如图3-9的阴影部分)上取值
，在uOz平面的其他部分都取值为0，所以 当z＜0时，∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
＋∞
0du=0； 当0≤z＜2时，∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=
当z≥2时，∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=
由此得到
f
X
(x)f
Y
(y)dxdy(其中D
z
=｛(x，y)｜2x+y≤z｝)， 然后对F
Z
(z)求导算出f
Z
(z)，但较麻烦． 记U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得
于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
(z)=∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du． 由于f
U
(u)f
Y
(z－u)=
即f
U
(u)f
Y
(z－u)仅在D
z
=｛(u，z)｜0＜u＜2，z－u＞0｝(如图3-9的阴影部分)上取值
，在uOz平面的其他部分都取值为0，所以 当z＜0时，∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=∫
－∞
＋∞
0du=0； 当0≤z＜2时，∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=
当z≥2时，∫
－∞
＋∞
f
U
(u)f
Y
(z－u)du=
由此得到
【答案解析】