问答题
设f(x)在[-2，2]上二阶可导．
(1)若|f(x)|≤1(x∈[-2，2])，又
证明：
使得f"(x
0
)+3f
2
(x
0
)=0.
(2)若f"(x)＞0(x∈(-2，2))，又
使得f"(a)≥0，证明：
(1)若|f(x)|≤1(x∈[-2，2])，又
证明：
使得f"(x
0
)+3f
2
(x
0
)=0.
(2)若f"(x)＞0(x∈(-2，2))，又
使得f"(a)≥0，证明：
【正确答案】
【答案解析】要证
使得
令
要证F"(x)在(-2，2)内有零点，常用以下方法．
(1)证明
使得F(α)=F(β)；
(2)证明
使得F"(α)F"(β)＜0；
(3)证明
在[α，β]的最大(小)值在(α，β)内取到．
[证明] (1)令
，要证
我们用前面分析中指出的方法(3)来证明．
由中值定理，
使得
同理，
使得
又
在[α，β]上的最大值必在(α，β)中某点x
0
取到，于是F"(x
0
)=0，即f"(x
0
)(f"(x
0
)+3f
2
(x
0
))=0.
知f"(x 0 )≠0，否则
与|f(x)|≤1矛盾．
因此f"(x 0 )+3f 2 (x 0 )=0.
(2)令
要证
使得F"(x
0
)=0.我们用分析中提到的方法(2)证明．
按假设条件：F"(α)=f"(α)[f"(α)+3f 2 (α)]≥0.
若等号成立，则命题得证．若F"(a)＞0，则必
使F"(β)＜0，否则对
与F(-2)＞F(2)矛盾．
因F"(α)，F"(β)异号，在α，β之间
使得
令
要证F"(x)在(-2，2)内有零点，常用以下方法．
(1)证明
使得F(α)=F(β)；
(2)证明
使得F"(α)F"(β)＜0；
(3)证明
在[α，β]的最大(小)值在(α，β)内取到．
[证明] (1)令
，要证
我们用前面分析中指出的方法(3)来证明．
由中值定理，
使得
同理，
使得
又
在[α，β]上的最大值必在(α，β)中某点x
0
取到，于是F"(x
0
)=0，即f"(x
0
)(f"(x
0
)+3f
2
(x
0
))=0.
知f"(x 0 )≠0，否则
与|f(x)|≤1矛盾．
因此f"(x 0 )+3f 2 (x 0 )=0.
(2)令
要证
使得F"(x
0
)=0.我们用分析中提到的方法(2)证明．
按假设条件：F"(α)=f"(α)[f"(α)+3f 2 (α)]≥0.
若等号成立，则命题得证．若F"(a)＞0，则必
使F"(β)＜0，否则对
与F(-2)＞F(2)矛盾．
因F"(α)，F"(β)异号，在α，β之间