问答题
试在球面x
2
+y
2
+z
2
=4上求出与点(3，1，-1)距离最近和最远的点．
【正确答案】
【答案解析】设M(x，y，z)为球面上任意一点，则M到点(3，1，-1)距离为
因为d 2 与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取
f(x，y，z)=d 2 =(x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 ，
又因为点M(x，y，z)在球面上，附加条件为φ(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 -4=0.
构成辅助函数F(x，y，z)=(x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 +λ(x 2 +y 2 +z 2 -4)．
求函数F对x，y，z偏导数，使其为0，得到方程组
从前三个方程中可以看出x，y，z均不等于零(否则方程两端不等)，以λ作为过渡，把这三个方程联系起来，有
故x=-3z，y=-z，将其代入x 2 +y 2 +z 2 =4中，得
(-3z) 2 +(-z) 2 +z 2 =4，
求出
再代入到x=-3z，y=-z中，
即可得
从而得两点
对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，
所以最近点为
，最远点为
因为d 2 与d有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取
f(x，y，z)=d 2 =(x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 ，
又因为点M(x，y，z)在球面上，附加条件为φ(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 -4=0.
构成辅助函数F(x，y，z)=(x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 +λ(x 2 +y 2 +z 2 -4)．
求函数F对x，y，z偏导数，使其为0，得到方程组
从前三个方程中可以看出x，y，z均不等于零(否则方程两端不等)，以λ作为过渡，把这三个方程联系起来，有
故x=-3z，y=-z，将其代入x 2 +y 2 +z 2 =4中，得
(-3z) 2 +(-z) 2 +z 2 =4，
求出
再代入到x=-3z，y=-z中，
即可得
从而得两点
对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，
所以最近点为
，最远点为