【正确答案】 B

【答案解析】[解析] ①不正确．例如有界函数

满足，但是不存在．
②正确．因为，由A≠0可知，，于是

③不正确．例如函数f(x)=sinx有界，而函数当x→0时为无穷大，但是

④正确．方法1°引进一个辅助雨数在所述条件下把讨论开区间上连续函数的有界性，转化为讨论闭区间上的连续函数的有界性．令

因为，所以F(x)在x=a右连续．同理F(x)在x=b左连续．又f(x)在(a，b)连续，F(x)=f(x)(a＜x＜b)，所以F(x)在(a，b)连续．于是F(x)在[a，b]连续，在[a，b]有界．因此f(x)在(a，b)有界．
方法2°利用存在极限的函数的局部有界性定理，在所述条件下也可把开区间上连续函数的有界性问题转化为有界闭区间上的情形．
由，a+δ＜b，当x∈(a，a+δ)时f(x)有界．由=，a+δ＜b-η，当x∈(b-η，b)时f(x)有界，又f(x)在[a+δ，b-η]连续，故有界．因此f(x)在(a，b)有界，
[评注] 类似于该命题中方法2°可证明：若f(x)在[a，+∞)连续且存在极限，则f(x)在[a，+∞)有界．若f(x)在(-Ⅰ，+Ⅰ)连续，叉存在极限