解答题
试讨论方程xe-x=a(a＞0)的实根．
【正确答案】
【答案解析】[解] 令F(x)=xe-x-a，则方程xex=a的实根的个数相当于F(x)的零点的个数．为此研究F(x)的单调性及极值(或最值)．
令F'(x)=(1-x)e-x=0
x=1，列表见表．
因为x=1是F(x)唯一的驻点，F(1)=e-1-a为(-∞，+∞)上的极大值，因此也是最大值，以下就F(1)=e-1-a与x轴的相对位置讨论F(x)的零点．
①若F(1)=e-1-a＜0，即(1，e-1-a)位于x轴下方，由表所示，F(x)与x轴不会有交点，因此F(x)没有零点．
②若F(1)=e-1-a=0，即(1，e-1-a)位于x轴上，由表所示F(x)与x轴除(1，e-1-a)点外再不会相交，因此f(x)只有唯一的零点．
③若F(1)=e-1-a＞0，即(1，e-1-a)位于x轴的上方，由表可知f(x)在(-∞，1)内单调递增，且
，可知F(x)在(-∞，1)内有且仅有唯一的零点；而F(x)在(1，+∞)内单调递减，且
令F'(x)=(1-x)e-x=0
x=1，列表见表．| x | (-∞，1) | 1 | (1，+∞) | ||||||||||||||||||||||||||||
| F'(x) | + | - | |||||||||||||||||||||||||||||
| F(x) | ↗ | (e-1-a)极大值 | ↘ | ||||||||||||||||||||||||||||
①若F(1)=e-1-a＜0，即(1，e-1-a)位于x轴下方，由表所示，F(x)与x轴不会有交点，因此F(x)没有零点．
②若F(1)=e-1-a=0，即(1，e-1-a)位于x轴上，由表所示F(x)与x轴除(1，e-1-a)点外再不会相交，因此f(x)只有唯一的零点．
③若F(1)=e-1-a＞0，即(1，e-1-a)位于x轴的上方，由表可知f(x)在(-∞，1)内单调递增，且
，可知F(x)在(-∞，1)内有且仅有唯一的零点；而F(x)在(1，+∞)内单调递减，且