问答题
设函数f(x)在[a，b]上具有连续的二阶导数，证明在(a，b)内存在一点ξ，使得
【正确答案】
【答案解析】[证]令
则有
F(a)=0，F"(x)=f(x)，F"(x)=f"(x)，F"""(x)=f"(x)，
F(x)在
处的二阶泰勒公式为
其中，ξ在x与
之间．
分别将x=b，x=a代入上式，并相减，则得
其中，ξ 1 ，ξ 2 分别在
与b，a与
之间．
不妨设f"(ξ 1 )≤f"(ξ 2 )，则
考虑到f"(x)的连续性及介值定理，可知在ξ 1 ，ξ 2 之间至少存在一点ξ∈(a，b)，使
故
则有
F(a)=0，F"(x)=f(x)，F"(x)=f"(x)，F"""(x)=f"(x)，
F(x)在
处的二阶泰勒公式为
其中，ξ在x与
之间．
分别将x=b，x=a代入上式，并相减，则得
其中，ξ 1 ，ξ 2 分别在
与b，a与
之间．
不妨设f"(ξ 1 )≤f"(ξ 2 )，则
考虑到f"(x)的连续性及介值定理，可知在ξ 1 ，ξ 2 之间至少存在一点ξ∈(a，b)，使
故