解答题
19.设f（x)在[a,b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,...,n),任取ki﹥0(i=1,2,....n),证明：存在ε∈[a,b],使得
k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).
k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).
【正确答案】因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(xi)≤M(i=1,2,...,n)
注意到ki＞0(i=1,2,...,n)所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1,2,...,n),
同向不等式相加得，
（k1+k2+...+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn)≤(k1+k2+...+kn)M,
注意到ki＞0(i=1,2,...,n)所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1,2,...,n),
同向不等式相加得，
（k1+k2+...+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn)≤(k1+k2+...+kn)M,
【答案解析】