问答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得
f(ξ)∫
0
ξ
g(x)dx=g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：记G(x)=G(x)∫
x
b
g(t)dt－g(x)∫
a
x
f(t)dt，则可以求得G(x)的原函数为F(x)=∫
a
x
f(r)dt∫
x
b
g(t)dt+C，其中C为任意常数．因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)：①在[a，b]上连续；②在(a，b)内可导；③F(a)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即f(ξ)∫
ξ
b
g(x)dx=g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx．
【答案解析】