解答题
2.(2000年试题，九)设函数f(x)在[0，π]上连续，且
【正确答案】根据题设，
则由积分中值定理，存在ξ1∈(0，π)，使
即f(ξ11)=0，ξ1∈(0，π)，假设(0，π)内仅有一个f(x)的零点，则f(x)在(0，ξ1)与(ξ1，π)内反号，不失一般性，假设在(0，ξ1)内，(x)>0，则(ξ1，π)内f(x)<0，又由题设
及
，有
由于cosx在[0，π]上单调递减，因此cosx一cosξ1＞0，x∈(0，ξ1)；cosx—cosξ1<0，x∈(ξ1，π)从而(*)式>0，矛盾，因此(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．证毕．解析二构造辅助函数：
显然F(0)=F(π)=0，由题设，有
即有
则由积分中值定理，存在ξ1∈(0，π)，使即f(ξ11)=0，ξ1∈(0，π)，假设(0，π)内仅有一个f(x)的零点，则f(x)在(0，ξ1)与(ξ1，π)内反号，不失一般性，假设在(0，ξ1)内，(x)>0，则(ξ1，π)内f(x)<0，又由题设及，有由于cosx在[0，π]上单调递减，因此cosx一cosξ1＞0，x∈(0，ξ1)；cosx—cosξ1<0，x∈(ξ1，π)从而(*)式>0，矛盾，因此(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．证毕．解析二构造辅助函数：显然F(0)=F(π)=0，由题设，有即有【答案解析】