解答题
已知△ABC的面积为S，三边长分别为a，b，c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设点P到a，b，c三边的距离分别为x，y，z．于是
即
ax+by+cz-2S=0．
令F(x，y，z，λ)=xyz+λ(ax+by+cz-2S)，由拉格朗日乘数法，令
当点P在三角形的边上时，xyz=0．而点P在三角形内部时，xyz＞0．所以当点P在三角形内部时，乘积xyz有最大值．所以当
时，xyz最大，最大值为
即ax+by+cz-2S=0．
令F(x，y，z，λ)=xyz+λ(ax+by+cz-2S)，由拉格朗日乘数法，令
当点P在三角形的边上时，xyz=0．而点P在三角形内部时，xyz＞0．所以当点P在三角形内部时，乘积xyz有最大值．所以当
时，xyz最大，最大值为