问答题
问答题
设
y=cost
2
，求
y=cost
2
，求
【正确答案】
【答案解析】-2t
问答题
证明 
【正确答案】
【答案解析】设
，由于变上限积分
是可微函数，故为连续函数，从而可知f(x)是连续函数．由f(0)=-1＜0，
故f(0)·f(1)＜0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=0．
再证唯一性．由于
，任给x∈(0，1)，可知2-x
2
＞0，从而知在(0，1)内，有f"(x)＞0，即f(x)是(0，1)内的严格单调增加函数．因此可知f(x)在(0，1)内如果存在零点，至多存在一个零点．
综上所述，
，由于变上限积分
是可微函数，故为连续函数，从而可知f(x)是连续函数．由f(0)=-1＜0，
故f(0)·f(1)＜0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=0．
再证唯一性．由于
，任给x∈(0，1)，可知2-x
2
＞0，从而知在(0，1)内，有f"(x)＞0，即f(x)是(0，1)内的严格单调增加函数．因此可知f(x)在(0，1)内如果存在零点，至多存在一个零点．
综上所述，
问答题
设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x
2
-
【正确答案】
【答案解析】因定积分是一个数值，可设
，则f(x)=3x
2
-Ax，将两端在区间[0，1]上取定积分，得
，即
，故
．于是，
，则f(x)=3x
2
-Ax，将两端在区间[0，1]上取定积分，得
，即
，故
．于是，
问答题
设f(x)是连续函数，且满足
，证明
，证明
【正确答案】
【答案解析】仿照上题设
即可求得
．
也可对等式两端积分，得
得
即可求得
．
也可对等式两端积分，得
得
问答题
已知
，证明
，证明
【正确答案】
【答案解析】
，后一等式两端对x求导得
即
取
，得
，后一等式两端对x求导得
即
取
，得