已知总体X是离散型随机变量，X可能取值为0，1，2且P{X=2}=(1一θ)
2
，E(X)=2(1一θ)(θ为未知参数)．
(I)试求X的概率分布；
(Ⅱ)对X抽取容量为10的样本，其中5个取1，3个取2，2个取0，求θ的矩估计值、最大似然估计值；
(Ⅲ)求经验分布函数．
【正确答案】正确答案：(I)设X的概率分布为P{X=0}=p
0
，F{X=1}=p
1
，P{X=2}=p
2
，根据题设知p
2
=(1—θ)
2
，又 E(X)=2(1一θ)=0×p
0
+1×p
1
+2×p
2
=p
1
+2p
2
=2(1一θ)，解得p
1
=2(1一θ)一2(1一θ)
2
=2θ(1—θ)，而p
0
+p
1
+p
2
=1，所以p
0
=1一p
1
一p
2
=θ
2
，X的概率分布为
(Ⅱ)根据定义求矩估计值、最大似然估计值．设μ=E(X)=2(1一θ)，解得
，于是θ的矩估计量
．将样本值代入得θ的矩估计值为
所以样本值的似然函数
(Ⅲ)根据定义得经验分布函数
(Ⅱ)根据定义求矩估计值、最大似然估计值．设μ=E(X)=2(1一θ)，解得
，于是θ的矩估计量
．将样本值代入得θ的矩估计值为
所以样本值的似然函数
(Ⅲ)根据定义得经验分布函数
【答案解析】