解答题
24.[2010年] (I)比较∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt与∫01tn∣lnt∣dt(n=1，2，…)的大小，并说明理由；(Ⅱ)记un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限
【正确答案】 利用定积分性质即命题1．3．2．5解(I)．
下面只解(I)，(Ⅱ)．为此先证：当0≤x≤l时，ln(1+x)≤x．
令g(x)=ln(1+x)一x，则当0≤x≤1时，g′(x)=1／(1+x)一1≤0，所以g(x)≤g(0)=0，即ln(1+x)一x≤0，亦即ln(1+x)≤x．
先比较区间[0，1]上的被积函数．由0＜ln(1+t)＜t(0＜t＜1)得到
lnn(1+t)＜tn (0＜t＜1；n=1，2，3，…)，
ln∣t∣lnn(1+t)＜tn∣lnt∣ (0＜t＜1)．
又
∣lnt∣lnn(1+t)＜
lnt=
lnt=0，
令f(t)=∣lnt∣lnn(1+t)，h(t)=tn∣lnf∣，可补充定义f(0)=0，h(0)=0，则f(t)，h(t)在[0，1]上连续，且f(t)≤h(t)，但f(t)
下面只解(I)，(Ⅱ)．为此先证：当0≤x≤l时，ln(1+x)≤x．
令g(x)=ln(1+x)一x，则当0≤x≤1时，g′(x)=1／(1+x)一1≤0，所以g(x)≤g(0)=0，即ln(1+x)一x≤0，亦即ln(1+x)≤x．
先比较区间[0，1]上的被积函数．由0＜ln(1+t)＜t(0＜t＜1)得到
lnn(1+t)＜tn (0＜t＜1；n=1，2，3，…)，
ln∣t∣lnn(1+t)＜tn∣lnt∣ (0＜t＜1)．
又
∣lnt∣lnn(1+t)＜lnt=lnt=0，令f(t)=∣lnt∣lnn(1+t)，h(t)=tn∣lnf∣，可补充定义f(0)=0，h(0)=0，则f(t)，h(t)在[0，1]上连续，且f(t)≤h(t)，但f(t)
【答案解析】