解答题
17.设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得
k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．
k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ)．
【正确答案】因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，
显然有
m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，
注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，
所以有
kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，
同向不等式相加，得
(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，
即m≤
≤M，
由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得
显然有
m≤f(xi)≤M(i=1，2，…，n)，
注意到ki＞0(i=1，2，…，n)，
所以有
kim≤kif(xi)≤kiM(i=1，2，…，n)，
同向不等式相加，得
(k1+k2+…+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)≤(k1+k2+…+kn)M，
即m≤
≤M，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得
【答案解析】