【正确答案】 B

【答案解析】[分析] β₁=ξ₂+ξ₃+…+ξ_r，β₂=ξ₁+ξ₃+…+ξ_r，β₃=ξ₁+ξ₂+ξ₄+…+ξ_r，β_r=ξ₁+ξ₂+…+ξ_r-1是AX=0的基础解系．因
1° 由解的性质知，Aβ_i=A(ξ₁+ξ₂+…+ξ_i-1+ξ_i+1+…+ξ_r)=0，均是AX=0的解向量．
2° 向量个数为r=n-r(A)，与原基础解系向量个数一样多．
3° 因
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由ξ₁，ξ₂，…，ξ_r线性无关及r≥3，有
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故β₁，β₂，…，β_r线性无关是AX=0的基础解系，应选(B)．
另外对(A)，当r=3时，α₁=-ξ₂-ξ₃，α₂=ξ₁-ξ₃，α₃=ξ₁+ξ₂．
因α₁-α₂+α₃=-ξ₂-ξ₃-(ξ₁-ξ₃)+ξ₁+ξ₃=0．α₁，α₂，α₃线性相关，故(A)中α₁，α₂，…，α_r不是AX=0的基础解系．
(这里只要举一个特例足矣!)
(C)与ξ₁，ξ₂，…，ξ_r等价的向量，向量个数可以超过r个(即与ξ₁，ξ₂，…，ξ_r等价的向量组可能线性相关)．(D)与ξ₁，ξ₂，…，ξ_r等秩向量组可能不是AX=0的解向量，且个数也可以超过r，故(A)，(C)，(D)均不成立．
[评注] 对选项(A)，当r=2n时(n≥2)，请读者证明(A)也是基础解系，但r=2n+1时，(A)不是基础解系．