解答题
设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
问答题
试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；
【正确答案】
【答案解析】证 取
，它在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，φ(0)=φ(1)=0．由罗尔定理知，存在x0∈(0，1)，使φ'(x0)=0．经计算，
故知存在x0∈(0，1)使
，它在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，φ(0)=φ(1)=0．由罗尔定理知，存在x0∈(0，1)，使φ'(x0)=0．经计算，故知存在x0∈(0，1)使
问答题
又设f(x)在区间(0，1)内可导，且
【正确答案】
【答案解析】证 φ"(x)=xf'(x)+f(x)+f(x)＞0，
即φ'(x)在(0，1)内严格单调增加，故上一小题中的x0是唯一的．
即φ'(x)在(0，1)内严格单调增加，故上一小题中的x0是唯一的．