单选题 下述论断正确的是
  • A.设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，除x=0外均可导，且f'(x)＞0，则f(x)在(-∞，+∞)上是严格单调增加的．
  • B.设f(x)为偶函数且x=0是f(x)的极值点，则f'(0)=0．
  • C.设f(x)在x=x0处二阶可导，且f"(x0)＞0，则x=x0是f(x)的极小值点．
  • D.设f(x)在x=x0处三阶可导，且f'(x0)=0，f"(x0)=0，f"'(x0)≠0，则x=x0一定不是f(x)的极值点．
【正确答案】 D
【答案解析】[解析] 方法一 证明(D)是正确的，利用佩亚诺余项泰勒公式在x=x0处展开：
[*]
其中[*](当x=x0时)，不妨设f"'(x0)＞0，所以存在x=x0的去心邻域[*]，当x∈[*]时，[*]，从而在此去心邻域[*]内，[*]．于是
当x∈[*]且x＜x0时，f(x)=f(x0)＜0，当x∈[*]且x＞x0时，f(x)-f(x0)＞0，故f(x0)一定不是f(x)的极值，选(D)．
方法二 举例说明(A)、(B)、(C)均不正确．
(A)不正确：例如[*]
f(x)在(-∞，+∞)上均有定义，除x=0外，[*]，但f(x)在(-∞，+∞)上并不严格单调增，例如取两点x1=-1，x2=1，f(x1)=1＞0，f(x2)=-1＜0，f(x2)不大于f(x1)．
如果添设f(x)在x=0处连续，那么(A)的结论正确的，你会证吗?
(B)不正确：例如[*]f(0)=-1是f(x)的极小值，且f(x)是偶函数，但f'(0)不存在．若添设f'(0)存在，则结论是正确的．
(C)不正确：例如f(x)=x2，f"(1)=2＞0，但f(1)不是极值．若添条件，f'(x0)=0，则结论正确．