【答案解析】(Ⅰ)[解] ξ₁+ξ₂仍是A的对应于λ₁=λ₂=2的特征向量．
   因已知Aξ₁=2ξ₁，Aξ₂=2ξ₂，故
   A(ξ₁+ξ₂)=Aξ₁+Aξ₂=2ξ₁+2ξ₂=2(ξ₁+ξ₂)．
   (Ⅱ)[解] ξ₂+ξ₃不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有
   A(ξ₂+ξ₃)=μ(ξ₂+ξ₃)，
   得2ξ₂-2ξ₃-μξ₂-μξ₃=(2-μ)ξ₂-(2+μ)ξ₃=0，
   因2-μ和2+μ不同时为零，故ξ₂，ξ₃线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，
   故ξ₂+ξ₃不是A的特征向量．
   (Ⅲ)[证] 因A有特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=-2，故A²有特征值μ₁=μ₂=μ₃=4．对应的特征向量仍是ξ₁，ξ₂，ξ₃，且ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关故存在可逆矩阵P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，使得
   P^-1A²P=4E，A²=P(4E)P^-1=4E，
   从而对任意的β≠0，有A²β=4Eβ=4β，故知任意3维非零向量β都是A²的对应于特征值μ=4的特征向量．