解答题
8.[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．
【正确答案】(1) f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt
=x2∫1x2e-t2dt—∫1x2te-t2dt，
f'(x)=2xe∫1x2e-t2dt+2x3e-x4—2x3e-x4
=2x∫1x2e-t2dt. ①
令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得
因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)．
(2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数．
又因f''(x)=2∫1x2e-t2dt+4x2e-x4，故f''(0)=2∫01e-t2dt＜0，f''(±1)=4e-1＞0．
于是f(0)=∫01(0一t)e-t2dt=
=x2∫1x2e-t2dt—∫1x2te-t2dt，
f'(x)=2xe∫1x2e-t2dt+2x3e-x4—2x3e-x4
=2x∫1x2e-t2dt. ①
令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得
因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)．
(2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数．
又因f''(x)=2∫1x2e-t2dt+4x2e-x4，故f''(0)=2∫01e-t2dt＜0，f''(±1)=4e-1＞0．
于是f(0)=∫01(0一t)e-t2dt=
【答案解析】