解答题
9.已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C＞0，AC－B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．
【正确答案】椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2－1=0．
令F(x，y，λ)=x2+y2－λ(Ax2+2Bxy+Cy2－1)，解方程组
将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得
[(1－Aλ)x2－Bλxy]+[－Bλxy+(1－Cλ)y2]=0，
即 x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，
于是可得d=
．
从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F'x=0，F'y=0有非零解，其系数行列式应为零，即
该方程一定有两个根λ1，λ2，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为
令F(x，y，λ)=x2+y2－λ(Ax2+2Bxy+Cy2－1)，解方程组
将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得
[(1－Aλ)x2－Bλxy]+[－Bλxy+(1－Cλ)y2]=0，
即 x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，
于是可得d=
．从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F'x=0，F'y=0有非零解，其系数行列式应为零，即
该方程一定有两个根λ1，λ2，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为
【答案解析】