问答题
计算
【正确答案】
【答案解析】【解】方法一 把D
n
按第一行展开，得
把递推公式①改写成
D n -αD n-1 =β(D n-1 -αD n-2 )， ②
继续用递推关系②递推，得
D n -αD n-1 =β(D n-1 -αD n-2 )=β 2 (D n-2 -αD n-3 )=…=β n-2 (D 2 -αD 1 )，
而D 2 =(α+β) 2 -αβ，D 1 =α+β，
D n -αD n-1 =β n-2 (D 2 -αD 1 )=β n ， ③
③式递推得 D n =αD n-1 +β n =α(αD n-2 +β n-1 )+β n
=…=α n +α n-1 β+α n-2 β 2 +…+αβ n-1 +β n ．
除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成
D n -βD n-1 =α(D n-1 -βD n-2 )． ④
由④递推可得
D n -βD n-1 =α n ， ⑤
③×β-⑤×α得
(β-α)D n =β n+1 -α n+1 ，
β-α≠0时，有
方法二 把原行列式表示成如下形式
把递推公式①改写成
D n -αD n-1 =β(D n-1 -αD n-2 )， ②
继续用递推关系②递推，得
D n -αD n-1 =β(D n-1 -αD n-2 )=β 2 (D n-2 -αD n-3 )=…=β n-2 (D 2 -αD 1 )，
而D 2 =(α+β) 2 -αβ，D 1 =α+β，
D n -αD n-1 =β n-2 (D 2 -αD 1 )=β n ， ③
③式递推得 D n =αD n-1 +β n =α(αD n-2 +β n-1 )+β n
=…=α n +α n-1 β+α n-2 β 2 +…+αβ n-1 +β n ．
除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成
D n -βD n-1 =α(D n-1 -βD n-2 )． ④
由④递推可得
D n -βD n-1 =α n ， ⑤
③×β-⑤×α得
(β-α)D n =β n+1 -α n+1 ，
β-α≠0时，有
方法二 把原行列式表示成如下形式