解答题
设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋ax22＋2x32＋2x1x2－2bx1x3＋2x2x3经过正交变换化3y12＋3y22。
问答题
24.求a，b的值；
【正确答案】令A＝
，x＝
，则f(x1，x2，x3)＝xTAx，因为二次型经过正交变换化为3y12＋3y22，所以矩阵A的三个特征值分别为λ1＝3，λ2＝3，λ3＝0。根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，有：
λ1＋λ2＋λ3＝4＋a＝6，得a＝2；
λ1λ2λ3＝｜A｜＝－2(b＋2)(b－1)＝0，得b＝－2或b＝1。
因为当b＝－2时，A＝
，因为
｜3E－A｜＝
，x＝，则f(x1，x2，x3)＝xTAx，因为二次型经过正交变换化为3y12＋3y22，所以矩阵A的三个特征值分别为λ1＝3，λ2＝3，λ3＝0。根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，有：λ1＋λ2＋λ3＝4＋a＝6，得a＝2；
λ1λ2λ3＝｜A｜＝－2(b＋2)(b－1)＝0，得b＝－2或b＝1。
因为当b＝－2时，A＝
，因为｜3E－A｜＝
【答案解析】
问答题
25.求正交变换x＝Qy，使二次型化为标准形。
【正确答案】当λ1＝λ2＝3，解线性方程组(3E－A)x＝0，得ξ1＝
，ξ2＝
；
当λ3＝0，解线性方程组(0E－A)x＝0，得ξ3＝
。
将ξ1，ξ2，ξ3正交化得β1＝ξ1＝
，
β2＝ξ2－
＝
，β3＝ξ3＝
。
再单位化有γ1＝β1／｜β1｜＝
，γ2＝β2／｜β2｜＝
，γ3＝β3／｜β3｜＝
。令
，ξ2＝；当λ3＝0，解线性方程组(0E－A)x＝0，得ξ3＝
。将ξ1，ξ2，ξ3正交化得β1＝ξ1＝
，β2＝ξ2－
＝，β3＝ξ3＝。再单位化有γ1＝β1／｜β1｜＝
，γ2＝β2／｜β2｜＝，γ3＝β3／｜β3｜＝。令【答案解析】