问答题
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy(其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T以及Q是三阶正交矩阵)下的标准形为
，且Q的第3列为
，且Q的第3列为
【正确答案】由于f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为[*]，所以，A有特征值λ1=λ2=1，λ3=-1，且对应λ3=-1的特征向量为[*]
设对应λ1=λ2=1的特征向量为α=(a1，a2，a3)T，则由A是实对称矩阵知，α与α3正交，即
a1+a3=0.
它的基础解系为α1=(0，1，0)T，α2=(-1，0，1)T，它们即为A的对应λ1=λ2=1的特征向量．α1，α2，α3是正交向量组，现将它们单位化：
ξ1=α1=(0，1，0)T，
[*]
它们是A的分别对应特征值1，1，-1的特征向量，由此可知，A*的特征值为
[*]
它们对应的特征向量分别为ξ1，ξ2，ξ3，记Q=(ξ1，ξ2，ξ3)(正交矩阵)，则
[*]
从而[*]
[*]
[*]
设对应λ1=λ2=1的特征向量为α=(a1，a2，a3)T，则由A是实对称矩阵知，α与α3正交，即
a1+a3=0.
它的基础解系为α1=(0，1，0)T，α2=(-1，0，1)T，它们即为A的对应λ1=λ2=1的特征向量．α1，α2，α3是正交向量组，现将它们单位化：
ξ1=α1=(0，1，0)T，
[*]
它们是A的分别对应特征值1，1，-1的特征向量，由此可知，A*的特征值为
[*]
它们对应的特征向量分别为ξ1，ξ2，ξ3，记Q=(ξ1，ξ2，ξ3)(正交矩阵)，则
[*]
从而[*]
[*]
[*]
【答案解析】题解中有两点值得注意：
(Ⅰ)设A是n阶可逆矩阵，有特征值λ及对应的特征向量ξ，则A*有特征值[*]及对应的特征向量ξ.
(Ⅱ)设A是可逆实对称矩阵，正交矩阵Q使它正交相似对角化，则Q也使A*正交相似对角化．
(Ⅰ)设A是n阶可逆矩阵，有特征值λ及对应的特征向量ξ，则A*有特征值[*]及对应的特征向量ξ.
(Ⅱ)设A是可逆实对称矩阵，正交矩阵Q使它正交相似对角化，则Q也使A*正交相似对角化．