解答题
21.[2008年]设f(x)是连续函数．利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F'(x)=f(x).
【正确答案】由导数的定义有
，而
F(x+△x)一F(x)=∫0x+△xf(t)dt—∫0xf(t)dt
=∫0xf(t)dt+∫0x+△xf(t)dt一∫0xf(t)dt
=∫xx+△xf(t)dt=f(ξ)△x(利用积分中值定理)，
其中ξ在x与x+△x之间，于是
，而F(x+△x)一F(x)=∫0x+△xf(t)dt—∫0xf(t)dt
=∫0xf(t)dt+∫0x+△xf(t)dt一∫0xf(t)dt
=∫xx+△xf(t)dt=f(ξ)△x(利用积分中值定理)，
其中ξ在x与x+△x之间，于是
【答案解析】