问答题
假设A为n阶可逆矩阵，证明：
问答题
(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
；
【正确答案】
【答案解析】[解] 因为A可逆，所以A
-1
存在．AA
-1
=E，(A
-1
)
T
A
T
=E．所以A
T
可逆且(A
T
)
-1
=(A
-1
)
T
．
问答题
(AT)
*
=(A
*
)
T
；
【正确答案】
【答案解析】A
*
=|A|A
-1
，(A
*
)
T
=(|A|A
-1
)
T
=|A|(A
-1
)
T
=|A
T
|(A
T
)
-1
=(A
T
)
*
．
问答题
(A
-1
)
*
=(A
*
)
-1
；
【正确答案】
【答案解析】证明：因为(AB)
*
=|AB|(AB)
-1
=|A||B| B
-1
A
-1
=B
*
A
*
①
AA
-1
=E．两边取“*”运算，所以由①得(AA
-1
)
*
=(A
-1
)
*
A
*
=E．
即证得(A
*
)
-1
=(A
-1
)
*
．
问答题
[(A
-1
)
T
]
*
=[(A
*
)
T
]
-1
．
【正确答案】
【答案解析】[(A
-1
)
T
]
*
=[(A
-1
)
*
]
T
=[(A
*
)
-1
]
T
=[(A
*
)
T
]
-1
．