【答案解析】[解] 先将φ(x)=arctanx按麦克劳林公式展开至n=7．有
   有φ'(x)(1+x²)=1，记φ'(x)=g(x)，得
   g(x)(1+x²)=1．
   将上式两边对x求n阶导数，由莱布尼茨高阶导数公式，有
   
   以x=0代入，得g⁽ⁿ⁾(0)+n(n-1)g^(n-2)(0)=0，
   g⁽ⁿ⁾(0)=-n(n-1)g^(n-2)(0)，
   即φ⁽ⁿ⁺¹⁾(0)=-n(n-1)φ^(n-1)(0)，n=2，3，…    (*)
   由于已有φ(0)=0，φ'(0)=1，φ"(0)=0，再由递推公式(*)得
   φ'''(0)=-2φ'(0)=-2，φ⁽⁴⁾(0)=0，
   φ⁽⁵⁾(0)=-12φ'''(0)=24，φ⁽⁶⁾(0)=0，
   φ⁽⁷⁾(0)=-30φ⁽⁵⁾(0)=-720．
   
   于是
   
   所以
   
   要使n尽可能的大，并使上述极限存在且不为零，先令
   
   试之，得代入的分子中x⁷的系数，得从而得
   
   取n=7，上式成为
   
   所以