设函数f(χ)连续，且∫
0
χ
f(t)dt＝sin
2
χ＋∫
0
χ
tf(χ－1)dt．求f(χ)．
【正确答案】正确答案：将
代入原方程即得∫
0
χ
f(t)dt＝sin2χ＋χ∫
0
χ
f(u)du－∫
0
χ
uf(u)du． ① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得 f(χ)＝2sinχcosχ＋∫
0
χ
f(u)du＝sin2χ＋∫
0
χ
f(u)du． ② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得 f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)． 故求y＝f(χ)等价于求解初值问题
的特解．解之可得 y＝f(χ)＝
代入原方程即得∫
0
χ
f(t)dt＝sin2χ＋χ∫
0
χ
f(u)du－∫
0
χ
uf(u)du． ① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得 f(χ)＝2sinχcosχ＋∫
0
χ
f(u)du＝sin2χ＋∫
0
χ
f(u)du． ② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得 f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)． 故求y＝f(χ)等价于求解初值问题
的特解．解之可得 y＝f(χ)＝
【答案解析】