解答题
8.(91年)设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布．
(1)求(X，Y)的相关系数ρ；
(2)问X和Y是否独立?
(1)求(X，Y)的相关系数ρ；
(2)问X和Y是否独立?
【正确答案】由题意，(X，Y)的联合概率密度为
f(χ，y)＝
，若χ2＋y2≤r2(别处为0)
则关于X的边缘密度为fx(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy
当｜χ｜＞r时，fX(χ)＝0；
当｜χ｜≤r时，
完全同理类似，得关于Yy的边缘概率密度为
(1)EX＝
同理，EY＝0
而E(XY)＝
以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到．
于是covc(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0，
f(χ，y)＝
，若χ2＋y2≤r2(别处为0)则关于X的边缘密度为fx(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy
当｜χ｜＞r时，fX(χ)＝0；
当｜χ｜≤r时，
完全同理类似，得关于Yy的边缘概率密度为
(1)EX＝
同理，EY＝0
而E(XY)＝
以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到．
于是covc(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0，
【答案解析】