【正确答案】为了求f'(x)，将f'(x)+f(x)－∫₀^xf(t)dt=0两边同乘(x+1)，得
(x+1)f'(x)+(x+1)f(x)=∫₀^xf(t)dt=0，
两边对x求导，得
f'(x)+(x+1)f"(x)+f(x)+(x+1)f'(x)－f(x)=0，
即(x+1)f"(x)+(x+2)f'(x)=0。
上述方程为二阶可降阶微分方程，令u=f'(x)，化为(x+1)u'+(x+2)u=0，即

即ln|u|=－(x+ln(x+1))+C₁，所以

再以x=0代入原方程f'(0)+f(0)－∫₀⁰f(t)dt=f'(0)+f(0)=0，由f(0)=1，有f'(0)=－1，于是C=－1，f'(x)=－

【正确答案】方法一：用积分证。
f(x)=f(0)+∫₀^xf'(t)dt=1－∫₀^xdt。
而0≤∫₀^xdt≤∫₀^xe^－tdt=－e^－t|₀^x=1－e^－x，
两边同乘以(－1)，得：
e^－x－1≤－∫₀^xdt≤0，
即e^－t≤f(x)=1－∫₀^xdt≤1。
方法二：用微分学方法证。
因f(0)=1，f'(x)＜0，即f(x)单调递减，所以当x≥0时f(x)≤1。
要证f(x)≥e^－x，可转化为证明f(x)－e^－x≥0，令φ(x)=f(x)－e^－x，则
φ(0)=1－1=0，且φ'(x)=f'(x)+e^－x≥f'(x)+