解答题
16.设抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x＝1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
【正确答案】由题设知曲线过点(0，0)，代入得c＝0，故y＝ax2＋bx。
如图所示，从x→x＋dx的面积为dS＝ydx，所以
由已知得a／3＋b／2＝1／3，即b＝2－2a。
当y＝ax2＋bx绕x轴旋转一周时，从x→x＋dx的体积为dV＝πy2dx，所以旋转体的体积为
由b＝2－2a／3得V＝
，这是一个含有a的函数，两边对a求导得
dV／da＝π／27(4／5a＋1)，
令其等于0，得唯一驻点a＝－5／4，又
如图所示，从x→x＋dx的面积为dS＝ydx，所以
由已知得a／3＋b／2＝1／3，即b＝2－2a。
当y＝ax2＋bx绕x轴旋转一周时，从x→x＋dx的体积为dV＝πy2dx，所以旋转体的体积为
由b＝2－2a／3得V＝
，这是一个含有a的函数，两边对a求导得dV／da＝π／27(4／5a＋1)，
令其等于0，得唯一驻点a＝－5／4，又
【答案解析】本题主要考查定积分的应用，熟记平面图形的面积公式和旋转体的体积公式是解决本题的关键。