单选题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax的秩为2，且矩阵A满足A
2
+A=O，则与A相似的矩阵是
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] 本题求A的相似矩阵．首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必可相似对角化，且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似；另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数)，那么问题便转化为求矩阵A的特征值上来了．这是求抽象矩阵的特征值问题——见到n阶矩阵A的多项式方程f(A)=O，就知A的特征方程为f(λ)=0.
解 设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是相应的特征向量，即Aα=λα．用α右乘题设等式条件，得
A 2 α+Aα=0， 即有(λ 2 +λ)α=0．因α≠0，故有λ 2 +λ=0，从而λ=0或λ=-1．又由矩阵A的秩为2可知，矩阵A的特征值为0，-1，-1，实对称矩阵A必与以它的特征值0，-1，-1为主对角线元素的对角矩阵相似．
注 实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的．
解 设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是相应的特征向量，即Aα=λα．用α右乘题设等式条件，得
A 2 α+Aα=0， 即有(λ 2 +λ)α=0．因α≠0，故有λ 2 +λ=0，从而λ=0或λ=-1．又由矩阵A的秩为2可知，矩阵A的特征值为0，-1，-1，实对称矩阵A必与以它的特征值0，-1，-1为主对角线元素的对角矩阵相似．
注 实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的．