《中华人民共和国突发事件应对法》第五十九条“突发事件应急处置工作结束后，履行统一领导职责的人民政府应当立即组织对突发事件造成的损失进行评估，组织受影响地区尽快恢复生产、生活、工作和社会秩序，制定恢复重建计划，并向上一级人民政府报告。”

受突发事件影响地区的人民政府应当及时组织和协调公安、交通、铁路、民航、邮电、建设等有关部门恢复社会治安秩序，尽快修复被损坏的交通、通信、供水、排水、供电、供气、供热等公共设施。

A项正确，责成保险公司赔偿应由保险监管机构负责，不属于人民政府负责。

B项错误，组织受影响地区尽快恢复生产、生活、工作和社会秩序属于对受灾地区恢复重建的内容，属于市人民政府负责。

C项错误，制定恢复重建计划并向上一级政府报告属于恢复重建中根据受灾地区恢复重建计划组织实施恢复重建工作，属于市人民政府负责。

D项错误，组织对突发事件造成的损失进行评估属于调查与评估中要对特别重大突发公共事件的起因、性质、影响、责任、经验教训和恢复重建等问题进行调查评估，属于市人民政府负责。

故正确答案为A。