单选题 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是
  • A.α1，α2，…，αs中任意s-1个向量都线性无关．
  • B.α1，α2，…，αs中每一个向量都不能由其余s-1个向量线性表出．
  • C.向量αs不能由α1，α2，…，αs-1线性表出．
  • D.向量α可以由α1，α2，…，αs线性表出．
【正确答案】 B
【答案解析】[解析] 必要性(反证法) 如果αi=k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs则k1α1+…+ki-1αi-1-αi+ki+1αi+1+…+ksαs=0．因为
k1，ki-1，ki+1，…，ks不全为0．于是α1，α2，…，αs线性相关．矛盾．
充分性(反证法) 如果α1，α2，…，αs的线性相关，则有不全为0的k1，k2，…，ks使k1α1+k2α2+…+ksαs=0，不妨设ks≠0，则有[*](k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1)．矛盾．
注意(A)、(C)都是必要条件，不是充分条件．
例如(A) (1，0)，(0，1)，(1，1)．例如(C) (1，0)，(2，0)，(0，1)
而(D)既不必要也不充分．例如 α1=(1，0，0)，α2=(0，1，0)，α=(0，0，1)与α1=(1，0，0)，α2=(2，0，0)，α=(3，0，0)．