问答题
设y=y(x)是由方程2y
3
—2y
2
+2xy一x
2
=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y'(x)．将方程两边对x求导得 6y
2
y'一4yy'+2xy'+2y一2x=0， 整理得 y'=
． ① (Ⅱ)由y'(x)=0及原方程确定驻点．由y'(x)=0得y=x代入原方程得 2x
3
一2x
2
+2xx一x
2
=1，即 x
3
一x
2
+x
3
一1=0， (x一1)(2x
2
+x+1)=0． 仅有根x=1．当y=x=1时，3y
2
—2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y
2
—2y+x)y'=x一y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y'(1)=0，y(1)=l，得 2y"(1)=1，y"(1)=
． ① (Ⅱ)由y'(x)=0及原方程确定驻点．由y'(x)=0得y=x代入原方程得 2x
3
一2x
2
+2xx一x
2
=1，即 x
3
一x
2
+x
3
一1=0， (x一1)(2x
2
+x+1)=0． 仅有根x=1．当y=x=1时，3y
2
—2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y
2
—2y+x)y'=x一y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y'(1)=0，y(1)=l，得 2y"(1)=1，y"(1)=
【答案解析】