求(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y
3
-x
3
+y
2
)dy=0的通解．
【正确答案】正确答案：可以验知，这是全微分方程．按解全微分方程办法解之． 记P(x，y)=y
3
-3xy
2
-3x
2
y，Q(x，y)=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
，有
故知这是全微分方程． 方法一 按折线求曲线积分法，取点(x
0
，y
0
)使P(x，y)与Q(x，y)在此点连续即可．例如取(x
0
，y
0
)=(0，0)，有
方法二 原函数法．先将y当作常量， u(x，y)=∫P(x，y)dx+φ(y)=∫(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+P(y)=xy
3
-
x
2
y
2
-x
3
y+φ(y)， 其中φ(y)为对y可微的待定函数．又由
=Q(x，y)得 3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
=
=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+φ"(y)． 所以 φ"(y)=y
2
， 从而得φ(y)=
+C
0
，其中C
0
为任意常数，故得一个原函数(令C
0
=0)
方法三 分项组合视察法．将原给方程通过视察分项组合． (y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
)dy =(y
3
dx+3xy
2
dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x
2
ydx+x
3
dy)+y
2
dy =0， 即
故知这是全微分方程． 方法一 按折线求曲线积分法，取点(x
0
，y
0
)使P(x，y)与Q(x，y)在此点连续即可．例如取(x
0
，y
0
)=(0，0)，有
方法二 原函数法．先将y当作常量， u(x，y)=∫P(x，y)dx+φ(y)=∫(y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+P(y)=xy
3
-
x
2
y
2
-x
3
y+φ(y)， 其中φ(y)为对y可微的待定函数．又由
=Q(x，y)得 3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
=
=3xy
2
-3x
2
y-x
3
+φ"(y)． 所以 φ"(y)=y
2
， 从而得φ(y)=
+C
0
，其中C
0
为任意常数，故得一个原函数(令C
0
=0)
方法三 分项组合视察法．将原给方程通过视察分项组合． (y
3
-3xy
2
-3x
2
y)dx+(3xy
2
-3x
2
y-x
3
+y
2
)dy =(y
3
dx+3xy
2
dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x
2
ydx+x
3
dy)+y
2
dy =0， 即
【答案解析】