解答题
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
问答题
9.证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．
【正确答案】记x=
，由于
f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2
，由于f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2
【答案解析】
问答题
10.若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
【正确答案】记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αTβ=βTα=0，所以
Aα=(2ααT+ββT)α=2α，
αβ=(2ααT+ββT)β=β，
于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又
r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，
所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
Aα=(2ααT+ββT)α=2α，
αβ=(2ααT+ββT)β=β，
于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又
r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，
所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
【答案解析】