解答题
17.设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P一1AP=A．
【正确答案】(1)先求A的特征值．
利用特征值的定义．
设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=ααTξ=λξ． ①
若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；
若αTξ≠0，①式两端左乘αT，则
αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．
因αTξ≠0，故λ=αTα=
。
(2)再求A的对应于λ的特征向量．
当λ=0时
即解方程
a1x1+a2x2+…+anxn=0，
得特征向量为(设a1≠0)
ξ1=[a2，一a1，0，…，0]T，
ξ2=[a3，0，一a1，…，0]T，
……
ξn一1=[an，0，0，…，一a1]T．
由观察知ξn=[α1，α2，…，αn]T．
(3)由ξ1，ξ2，…，ξs，得可逆阵P．
利用特征值的定义．
设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=ααTξ=λξ． ①
若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；
若αTξ≠0，①式两端左乘αT，则
αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．
因αTξ≠0，故λ=αTα=
。(2)再求A的对应于λ的特征向量．
当λ=0时
即解方程
a1x1+a2x2+…+anxn=0，
得特征向量为(设a1≠0)
ξ1=[a2，一a1，0，…，0]T，
ξ2=[a3，0，一a1，…，0]T，
……
ξn一1=[an，0，0，…，一a1]T．
由观察知ξn=[α1，α2，…，αn]T．
(3)由ξ1，ξ2，…，ξs，得可逆阵P．
【答案解析】