问答题
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上
点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
问答题
写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：
【正确答案】正确答案：由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 V(t)=∫
0
z(t)
S(z)dz， 其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z
2
+(1一z)
2
]． 现由
及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v
0
dt，即[z
2
+(1一z)
2
]dz=
(*) 两边积分并注意z(0)=0，得
及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v
0
dt，即[z
2
+(1一z)
2
]dz=
(*) 两边积分并注意z(0)=0，得
【答案解析】
问答题
求水表面上升速度最大时的水面高度；
【正确答案】正确答案：求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即
(若未解答题1，可对题1告知要证的结论即(**)式两边对t求导得
，同样求得上式)， 因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(x)=x
2
+(1一z)
2
在[0，1]上的最小值点.由
=> f(x)在
时在[0，1]上取最小值．故
取最大值．已求得(*)式即
(若未解答题1，可对题1告知要证的结论即(**)式两边对t求导得
，同样求得上式)， 因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(x)=x
2
+(1一z)
2
在[0，1]上的最小值点.由
=> f(x)在
时在[0，1]上取最小值．故
【答案解析】
问答题
求灌满容器所需时间．
【正确答案】正确答案：归结求容器的体积，即 V=∫
0
1
S(z)dz=π∫
0
1
[z
2
+(1-z)
2
]dz=
因此灌满容器所需时间为
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得
因此灌满容器所需时间为
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得
【答案解析】