问答题 设向量组α1=(1，0，a)T，α2=(0，1，1)T，α3=(b，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，b)T线性表示，但β1，β2，β3可由向量组α1，α1+α2，α1+α2+α3线性表示，求常数a，b．
【正确答案】由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以矩阵方程
(β1，β2，β3)X=(α1，α2，α3)无解，从而
[*]
由于[*]
[*]
所以，b=5时，[*]，即此时，α1，α2，α3
不能由β1，β2，β3线性表示，
由于β1，β2，β3可由α1，α1+α2，α1+α2+α3线性表示，所以矩阵方程
(α1，α1+α2，α1+α2+α3)Y=(β1，β2，β3)有解，从而
[*]
将b=5代入得
[*]
所以，[*]时，[*](=3)，即此时，β1，β2，β3可由α1，α1+α2，α1+α2+α3线性表示．
于是，所求的[*]，b=5．
【答案解析】题解中有两点值得注意：
(Ⅰ)矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是
[*]
而无解的充分必要条件是
[*]
(Ⅱ)设有两个n维向量组(A)：α1，α2，…，αr，(B)：β1，β2，…，βs，则
(A)可由(B)线性表示，且表示式唯一的充分必要条件是矩阵方程
(β1，β2，…，βs)X=(α1，α2，…，αr)(其中，X是s×n未知矩阵)有唯一解；
(A)可由(B)线性表示，但表示式不唯一的充分必要条件是矩阵方程
(β1，β2，…，βs]X=(α1，α2，…，αr)有无穷多解；
(A)不可由(B)线性表示的充分必要条件是矩阵方程
(β1，β2，…，βs)X=(α1，α2，…，αr)无解．