单选题
设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为
【正确答案】
B
【答案解析】[解析] 随机变量函数Z=XY是由连续型随机变量X和离散型随机变量构成，对这类“混合型”的函数，一般从离散型随机变量着手．由y取值就两个：0、1．可以将事件“Y=0”和“Y=1”看成一完备事件组．
由全概率公式
Fz(z)=P{XY≤z}
=P{Y=0}P{XY≤z|Y=0)+P(Y=1}P{XY≤z |Y=1}
又由X、Y相互独立，故
即
而
所以，Fz(z)在z=0处有一个间断点故答案应该选(B).
[评注] 也可以将事件“Z≤z”分解成
{Z≤z)={Z≤z，Y=0}∪{Z≤z，Y=1)
也就有 Fz(z)=P{Z≤z}=P{Z≤z，y=0}+P{Z≤z，y=1)．
当z＜0时，P{Z≤z，Y=0}=P{Z≤z，Y=0)=P(
)=0；
当z≥0时，P{Z≤z，Y=0)=P{XY≤z，Y=0)=P{Y=0}=
，
而对任意z，P{Z≤z，Y=1)=P{XY≤z，Y=1)=P{X≤z，Y=1}
由全概率公式
Fz(z)=P{XY≤z}
=P{Y=0}P{XY≤z|Y=0)+P(Y=1}P{XY≤z |Y=1}
又由X、Y相互独立，故
即
而
所以，Fz(z)在z=0处有一个间断点故答案应该选(B).[评注] 也可以将事件“Z≤z”分解成
{Z≤z)={Z≤z，Y=0}∪{Z≤z，Y=1)
也就有 Fz(z)=P{Z≤z}=P{Z≤z，y=0}+P{Z≤z，y=1)．
当z＜0时，P{Z≤z，Y=0}=P{Z≤z，Y=0)=P(
)=0；当z≥0时，P{Z≤z，Y=0)=P{XY≤z，Y=0)=P{Y=0}=
，而对任意z，P{Z≤z，Y=1)=P{XY≤z，Y=1)=P{X≤z，Y=1}