解答题
4.用配方法化下列二次型为标准型
(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3．
(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．
(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3．
(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．
【正确答案】(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3
=[x1+22x1x2—2x1x3+(x2-x3)2]一(x2-x3)2+2x22+2x2x3
=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3一x32
=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32一5x32
=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2一5x32．
原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12+y22一5y32
从上面的公式反解得变换公式：
(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换
f(x1，x2，x3)=y12—y22+2y1y3．
虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：
y12一y22+2y1y3=(y1+y3)2一y22一y32．
=[x1+22x1x2—2x1x3+(x2-x3)2]一(x2-x3)2+2x22+2x2x3
=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3一x32
=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32一5x32
=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2一5x32．
原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12+y22一5y32
从上面的公式反解得变换公式：
(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换
f(x1，x2，x3)=y12—y22+2y1y3．
虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：
y12一y22+2y1y3=(y1+y3)2一y22一y32．
【答案解析】