单选题 设A是m×n矩阵，则下列4个命题
① 若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b必有解；
② 若r(A)=m，则齐次方程组Ax=0只有零解；
③ 若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解；
④ 若r(A)=n，则齐次方程组Ax=0只有零解
中正确的是
  • A.①③．
  • B.①④．
  • C.②③．
  • D.②④．
【正确答案】 B
【答案解析】因为A是m×n矩阵，若r(A)=m，说明A的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关．所以必有r([*])=m．从而r(A)=r([*])，故线性方程组Ax=b必有解，①正确．下面只需判断③或④正确即可． 若r(A)=n，说明A的列向量组线性无关，亦即Ax=0只有零解，所以④正确，故应选(B)． 当r(A)=m时，必有n≥m．如果m=n，则Ax=0只有零解，而m＜n时，Ax=0必有非零解，所以②不正确． 当r(A)=n时，r([*])有可能是n+1，方程组Ax=b可以无解．所以③不正确，你能举例说明吗?